(1) "Tredive og tyve er halvtreds, og de otte gør 58. Så seks mere er fireogtres ";
(2) "Tredive og tyve er halvtreds, og otte og seks er fjorten. De ti fra fjorten gør tres, så det er tres fire ";
(3) "Otteogtredive plus seksogtyve er ligesom fyrre og fireogtyve, som er fireogtres". I deres undersøgelse, Carpenter et al. (1998) fandt, at 65% af de studerende i deres stikprøve havde brugt et opfundet strategi, før standard algoritmer blev undervist.
Ved slutningen af deres undersøgelse, havde 88% af deres anvendte prøve opfundet strategier på et tidspunkt i løbet af deres første tre år af skolen. De fandt også, at de studerende, der brugte opfundet strategier, før de lærte standard algoritmer demonstrerede bedre kendskab til base-ti nummer koncepter og var mere succesfuld i at udvide deres viden til nye situationer, end der var studerende, der oprindeligt lærte standard algoritmer.
Nylig nogle forskere (f.eks Ben-Chaim et al, 1998;.
Cai, 2000) har også fundet beviser på, at middle school studerende er i stand til at bruge opfundet strategier til at løse problemer. For eksempel, når amerikanske og kinesiske sjette-klasses elever blev bedt om at afgøre, om hver pige eller hver dreng får mere pizza, når syv piger deler to pizzaer og tre drenge deler en pizza lige, de brugte otte forskellige korrekte måder at retfærdiggøre, at hver dreng får mere end hver pige (Cai, 2000).
Kollektivt, de førnævnte undersøgelser ikke blot vise, at de studerende er i stand til at opfinde deres egne strategier til at løse problemer, men de viser også, at det er muligt at bruge de studerendes opfundet strategier til øge deres forståelse af matematik. Således synes det klart, at de studerende i elementære og mellemledere skoler er i stand til at opfinde deres egne strategier til at løse problemer. Men der er mindst to ubesvarede spørgsmål.
Ubesvarede spørgsmål i forbindelse med at udstede 1. Det første spørgsmål har at gøre med elevernes opfundet strategier.
I klasseværelser ved hjælp af problembaseret undersøgelse (. Fx Carpenter et al, 1998;. Cobb et al, 1991), er de studerende får mulighed for at bruge og diskutere alternative strategier til løsning af problemer, før at blive undervist nogen specifikke strategier. Spørgsmålet er: Hvordan eleverne lærer at bruge opfundet strategier i første omgang, før nogen instruktion finder sted? Hvilke typer af erfaringer og viden gør eleverne trække på fo