? Husk på, at partitionen funktionen er givet ved
(9.4)
Så forventningen værdien af s sige (9,5) Det er Planck fordelingsfunktion for den termiske gennemsnitlige antal fotoner i en enkelt frekvens mode. Ækvivalent, er det gennemsnitlige antal fononer i denne tilstand. Som vi skal se, en Phonon er kvantum af energi af et elastisk bølge bevæger sig gennem et fast stof. Brug (9,5), kan vi bestemme den samlede energi, der er indeholdt i hulrummet . Per definition er den samlede energi er summen af energien i hver tilstand, så hvor summen er over n x, n y og n z. Antag, at temperaturen er stor sammenlignet med ændringen i w NSO, at vi kan erstatte summation med en integreret. Så integralet bliver (9,6) Her dn = dn x dn y dn z og faktoren 1/8 skyldes, at vi kun integrerer over positive Octant af parameteren plads. Nu et resultat af, at der er to uafhængige polarisationsretninger. Vi må derfor formere (9,6) med to. Brug (9.3) til at erstatte w n, vi endelig får Lad. Så integralet bliver Dette integral kan slås op i en tabel. Det viser sig at være p 4/15. Dette fører til det endelige resultat (9,7) hvor V = L 3. Dette resultat kaldes Stefan-Boltzmanns lov af stråling. Det viser, at den samlede energitæthed på et sort legeme er proportional med fjerde potens af temperaturen. Denne lov er af enorm brug i astrofysik, da vi er i stand til at måle eller bestemme energitætheden af en stjerne, og derfor kan vi bestemme dens tilsvarende sort kropstemperatur. Det meste af den tid, vi er interesserede i energi pr volumenenhed pr frekvensområde. Dette kaldes spektral tæthed af strålingen, og betegnes u w. Startende fra Vi kan udlede en relation til u w. Husk på, at w n = n p C-service / L , så i form af w nDet bliver så (9,8) Dette er kendt som stråling lov Planck. Det giver frekvensfordelingen af varmestråling. Entropi af termisk stråling kan fastlægges fra t d s = dU . Brug (9,7), får vi eller efter at integrere, (9,9) Endelig Termisk Energi
Gibbs distribution af termisk Fysik Foredrag Notes